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Zerteilung eines Würfels

Zerteilung eines Würfels

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Kalle Marx

Kalle Marx


Free Account, Berlin

Zerteilung eines Würfels

Ein Würfel wird durch einen ebenen Schnitt in zwei Teilkörper zerlegt. Dies ist auf verschiedene Arten möglich. Das Bild zeigt eine Zerlegung in zwei Teilkörper, bei der die Eckenzahl der Teilkörper zusammen um sechs größer ist als die Eckenzahl des Würfels. Um wieviel ist die Eckenzahl der Teilkörper mindestens, um
wieviel höchstens höher als die Eckenzahl des Würfels? Sind alle Werte zwischen dem Mindest- und dem Höchstwert möglich?

Comentarios 51

  • Kalle Marx

    Kalle Marx 29/11/2007 3:03

    @ Mara: Juten Abend!
    Leider etwas spät, aber besser als nie ...
    Hiermit erhältst Du, wie angedroht, für Deine unermüdlichen Leistungen als erste meinen:
    Gold-Elch
    Gold-Elch
     Kalle Marx

    Gruß, Marx.
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  • Kalle Marx

    Kalle Marx 28/11/2007 0:12

    Naja, ich gebe mir generell schon etwas Mühe mit solchen Sachen, was sicherlich daherrührt, daß ich regelmäßig Nachhilfe für Schüler gebe.

    Ich bin gerade an der Arbeit mit meinem Hauptpreis. Du wirst die erste sein, die ihn bekommt.

    Lieben Gruß und ebenfalls eine gute Nacht, Marx.
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  • Kalle Marx

    Kalle Marx 27/11/2007 23:54

    Hier ist meine Variante:
    Eine Überlagerungs-Überlegung
    Eine Überlagerungs-Überlegung
     Kalle Marx


    Da die beiden Dreiecke mit grüner und magenta-farbener Kathete immer gleich groß sind, kann das grüne an das magentane Dreieck gelegt werden. Außerdem gilt stets b + d = a/2. Daher ist der Flächeninhalt der Überlagerungsfläche stets a/2*a/2 = a²/4, q.e.d.
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  • Kalle Marx

    Kalle Marx 27/11/2007 23:48

    Daß die beiden Dreiecke immer gleich groß sind, ist korrekt. Nur kannst Du ihre Größe leider so einfach nicht berechnen. Meine Skizze kommt gleich.
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  • Kalle Marx

    Kalle Marx 27/11/2007 23:25

    Ich stelle Dir gleich mal eine Skizze von mir ein.
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  • Kalle Marx

    Kalle Marx 27/11/2007 23:24

    Neee, neee ...
    So wird das nix.
    Tut mir leid, daß ich Dich da entäuschen muß: Natürlich ist Dein c immer gleich lang da es die Halbe Diagonale des Quadrats ist. Es ist aber mit nichten die Hypothenuse eines rechtwinkligen Dreiecks und die beiden von Dir (grün und blau) eingezeichneten Dreiecke sind im allgemeinen keine rechtwinkligen. Diese Variante haut nur für die Fälle hin, die oben beschrieben hast (wenn die gemeinsame Fläche selbst ein Quadrat ist).
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  • Kalle Marx

    Kalle Marx 27/11/2007 22:50

    Mmmm, klingt mir noch nicht so gut. Zumindest ist es anders als ich den Beweis führen würde. Was hat denn die Verbindungslinie der beiden Quadratmittelpunkte mit der gemeinsamen Fläche der Quadrate tun?
    Stell doch mal eine Skizze ein - ich bereit auch mal eine vor.
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  • Kalle Marx

    Kalle Marx 27/11/2007 22:34

    Schade, daß es bei Dir funktioniert (mit den Uploads) und bei mir nicht - vielleicht sollte ich mich mal bei den Admins beschweren. Oder hast Du vielleicht eine andere Art von Account? Ich habe die Basic-Membership.

    Der Beweis ist wirklich ganz einfach. Welche geometrische Form hat denn die Fläche, auf der sich die beiden Quadrate in dem Aufgabenbild überlagern?
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  • Kalle Marx

    Kalle Marx 27/11/2007 22:25

    Übrigens: Wenn Du ganz viel Glück hast, könntest Du heute auch noch einen Preis von mir bekommen: Ein Freund von mir bringt mir nämlich gleich meine ihm geliehene Kamera zurück und ich werde dann mal schauen, ob ich nicht einen schönen Preis gestaltet bekomme ...

    Zu den Quadraten: Alles, was Du dazu brauchst, ist ein Satz, den so'n oller Grieche im sechsten Jahrhundert vor Chr. aufgestellt hat.
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  • Kalle Marx

    Kalle Marx 27/11/2007 22:14

    So, nun habe ich alle Bildchen ersetzt und sogar noch zwei mehr für drei und sechs Ecken spendiert - das waren wohl die einzigen beiden, die noch fehlten.
    Allerdings ist es doch eher so, wie ich vermutet habe:
    Meine verbleibenden Uploads haben sich nicht vermehrt.

    Wie sieht es mit Deinem Nachweis für ein Viertel der Quadratfläche aus?
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  • Kalle Marx

    Kalle Marx 27/11/2007 22:02

    Gut soweit - 1/4 der Quadratfläche ist das richtige Ergebnis. Aber Du hast auch gleich richtig weitergeraten: Ohne einen Beweis ist das natürlich nix. :o)
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  • Kalle Marx

    Kalle Marx 27/11/2007 21:50

    Nö, is gar nicht schwer. Zeichne es Dir am besten auf und bennen die Quadratseiten ... dann nur noch kurz an die neunte Klasse erinnern - fertig.
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  • Kalle Marx

    Kalle Marx 27/11/2007 21:42

    Naja, soo wild ist die Arbeit wohl auch nicht.
    Solange Du Dich mit den Quadraten beschäftigst, werde ich mich mal an die Arbeit machen.
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  • Kalle Marx

    Kalle Marx 27/11/2007 21:41

    Ahso? Mensch heut' lern ich aber gewaltig. Ich bin bisher davon ausgegangen, daß die Uploads trotzdem futsch sind, auch wenn ich die Bildchen lösche.
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  • Kalle Marx

    Kalle Marx 27/11/2007 21:38

    Suupi - das hat ja einwandfrei geklappt! Danke für den Tipp.

    Hier gehts also weiter:
    Quadratüberlagerung
    Quadratüberlagerung
     Kalle Marx

    Zwei gleichgroße Quadrate liegen übereinander, wobei eine Ecke des einen Quadrats im Mittelpunkt des anderen
    liegt. Wie groß ist die Fläche, auf der sich die Quadrate überdecken?
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